في استخراج الأعداد التامة، ثابت بن قرة

العدد التامْ، هو عدد، إذا جمع كل جزء له، كانت جملة ذلك، العدد بأسره.

العدد الزائد، هو عدد، إذا جمع كل جزء له، كانت جملة ذلك، أكثر من ذلك العدد نفسه.

العدد الناقص، هو عدد، إذا جمع كل جزء له، كانت جملة ذلك، أقل من ذلك العدد نفسه.

الفرق ما بين العدد، وجمع كل جزء له، يسمى زيادته إذا كان عدداً زائداً، ونقصانه إن كان عدداً ناقصاً.

٥ - اجمع اعداد متوالية، على نسبة الضعف، من الواحد، مع الواحد، فتكون منها جملة ما.
اضرب في العدد الأكثر، من الأعداد التي جمعت، عدد أول غير الاثنين.
- إن كان العدد الأول، مساوياً للجملة التي جمعت، فان العدد المتولد عدد تام.
- إن كان العدد الأول، أقل من الجملة التي جمعت، فان العدد المتولد عدد زائد.
- إن كان العدد الأول أكثر، من الجملة التي جمعت، فان العدد المتولد عدد ناقص.
- مبلغ زيادة العدد المتولد، إن كان زائداً، أو نقصانه إن كان ناقصاً، مثل فضل ما بين تلك الجملة التي جمعت، وذلك العدد الأول.

فلتكن أعداد متوالية على نسبة الضعف، من الواحد، والواحد معها، وهي، أ ب ج د ه، وجملتها عدد و.

ليكن عدد ز، عدداً أولاً غير الاثنين.

ليكن المجتمع من ضرب عدد ز، في عدد ه، الذي هو أكثر الأعداد التي جمعت، عدد ح .

أقول:

- إن كان عددا و ز متساويين، فإن عدد ح عدد تام.

- إن كان عدد ز أقل من عدد و، فإن عدد ح عدد زائد.

- إن كان عدد ز، أكثر من عدد و، فإن عدد ح عدد ناقص.

مبلغ زيادة ح إن كان زائداً، أو نقصانه إن كان ناقصاً، مثل فضل ما بين عددي و ز.

برهان ذلك:

نجعل الاعداد المجتمعة، من ضرب عدد ز، في كل واحد من أعداد، ب ج د ه، أعداد ط ك ل ح.

إن عدد ح، عدد مسطح، وضلعاه عددا ه ز، اللذان عدد ه منهما، عدد مركب، وعدد ز منهما عدد أول.

إذا عدد ح، يعده عددا ه ز، وكل عدد يعد ه، وكل عدد مجتمع من ضرب عدد ز، في كل عدد يعد ه، ولا يعده عدد آخر غير هذه.

أما كل عدد، يعد ه، فهو من أعداد ب ج د، لا يعده عدد آخر غيرها، لأن أعداد ب ج د ه، متوالية على نسبة واحدة، من الواحد، والذي يلي الواحد منها، عدد أول، فليس يعد أكثرها إلا عدد من أعداد هذه النسبة.

أما الأعداد، المجتمعة من ضرب عدد ز، في كل عدد يعد ه، من الأعداد الأخر، فهي أعداد ط ك ل.

فعدد ح، يعده عددا ه ز، وكل عدد يعده من الأعداد الأخر، وهي أعداد ب ج د، وكل الأعداد التي تجتمع من ضرب عدد ز، في كل الأعداد التي تعد ه، وهي أعداد ط ك ل.

ولا يعد عدد ح، عدد آخر، غير هذه الأعداد التي قد ذكرنا، ويعده الواحد.

فهي إذاً، والواحد، كل جزء لعدد ح، وليس منها واحد يساوي صاحبه، فيكون مكرراً معاداً.

ذلك أن عدد ز، ضرب في أعداد ب ج د، فاجتمعت أعداد ط ك ل، والذي يكون من ضرب ز، في أ، هو عدد ز، لأن أ هو الواحد.

فنسب أعداد، ز ط ك ل، بعضها إلى بعض، كنسب ا ب ج د، بعضها إلى بعض، فهي إذا متوالية على نسبة الضعف.

فليس من أعداد ز ط ك ل، شيء يساوي صاحبه، ولا من أ ب ج د ه، شيء يساوي صاحبه.

وأقول أيضا، إنه ليس من أعداد ز ط ك ل، عدد، يساوي واحد من أعداد أ ب ج د ه، لأنه، إن ساوى عدد من تلك، واحداً من هذه، فإنه إما يساوي نظيره في المرتبة، وإما ما هو قبل نظيره وإما ما هو بعد نظيره.

فإن ساوى شيء منها، مثل عدد ك نظيره، وهو عدد ج، فإنه يتبين أن بنسبة المساواة، تكون نسبة ك إلى ز، كنسبة ج إلى أ، ولكن ك مثل ج.

فيجب من ذلك، أن يكون ز مثل أ، الذي هو الواحد، وهذا غير ممكن، لأن عدد ز غير الواحد، فرضاً.

وإن ساوى شيء، من أعداد ز ط ك ل، ما قبل نظيره، من أ ب ج د ه، مثل عدد ك، إن هو ساوى عدد ب، فإن عدة، ك ط ز، تكون أكثر من عدة ب أ.

فإن أخذنا من ز ط ك، ما يكون عدته كعدة أ ب، وهو ك ط، كانت نسبة ك إلى ط، كنسبة ب إلى أ، وعدد ك مثل عدد ب، فعدد ط مثل عدد أ، الذي هو الواحد، وهذا أيضاً غير ممكن، لأن عدد ط غير الواحد.

وإن ساوى شيء، من أعداد، ز ط ك ل، ما بعد نظيره، من أعداد، أ ب ج د ه، مثل عدد ك، إن ساوى عدد د، فإن عدة د ج ب أ، تكون أكثر من عدة أعداد، ك ط ز.

فإن أخذنا من د ج ب أ، ما تكون عدته، كعدة أعداد، ك ط ز، وهي أعداد د ج ب، وهو بيّنٌ أنها تكون على نسبتها، كانت بنسبة المساواة، نسبة ك إلى ز، كنسبة د، إلى واحد من أعداد د ب ج، وهو هاهنا عدد ب.

لكن ك مثل د، فيكون ز، مثل واحد من أعداد ب ج د.

لكن كل واحد من أعداد ب ج د، إما أن يكون عدداً مركبا، وإما أن يكون عدد الاثنين، فعدد ز إذاً، عدد مركب، أو هو عدد الاثنين.

كنا قد اشترطنا أنه ليس كذلك، هذا خلف.

ليس يساوي إذاً شيء، من أعداد، ز ط ك ل، شيئا، من أعداد، أ ب ج د ه.

فليس إذا، من أعداد أ ب ج د ه، وأعداد ز ط ك ل، شيء يساوي صاحبه.

أيضا، فإن عدد ز ضرب في عدد ه، فاجتمع عدد ح.

لكن عدد ز، أيضاً ضرب في كل واحد من أعداد، أ ب ج د، فاجتمعت أعداد ز ط ك ل.

فنسب أعداد، ز ط ك ل ح، بعضها إلى بعض، كنسب أعداد، ا ب ج د ه بعضها إلى بعض.

لكن أ ب ج د ه، متوالية على نسبة الضعف، فأعداد ز ط ك ل ح إذا، متوالية على نسبة الضعف.

فإذا جمعت أعداد، ز ط ك ل، كانت أقل من عدد ح، بمثل عدد ز . (د، أعداد متوالية)

جملة أ ب ج د ه، هي عدد و، فتكون أعداد، ز ط ك ل، وأعداد، ب ج د ه، و أ الذي هو الواحد معها، إذا جمعت كلها، كان مثل عددي و ح إذا جمعا، ونقص منهما عدد ز.

لكن أعداد هاتين الجماعتين اللتين ذكرن من الأعداد، والواحد معها، قد بينا أن كل واحد منها، جزء لعدد ح، وأنه ليس له جزء غير هذه، وأنه ليس منها شيء معاد مكرر.

إذا جمع إذاً، كل جزء لعدد ح، كانت جملة ذلك، مثل عددي و ح إذا جمعا، ونقص منهما عدد ز.

إن كان عدد ز، إذا مساوياً لعدد و، فإنه إذا نقص عدد ز، من عددي و ح مجموعين، بقي عدد ح، مساوياً للجملة الحاصلة من جمع كل جزء له، فكان عدد تام.

إن كان عدد ز، أقل من عدد و، فإنه إذا نقص عدد ز، من عددي و ح مجموعين، بقي شيء هو أكثر من عدد ح، مساوياً للجملة الحاصلة، من جمع كل جزء، لعدد ح.

فيكون عدد ح، إذا، عدد زائد، ويكون مبلغ زيادته، كمبلغ زيادة عدد و، على عدد ز.

إن كان عدد ز، أكثر من عدد و، فإنه إذا نقص عدد ز، من عددي و ح مجموعين، بقي شيء، هو أقل من عدد ح، مساوياً للجملة الحاصلة، من جمع كل جزء لعدد ح.

فيكون عدد ح عدد ناقص، ويكون مبلغ نقصانه، كمبلغ نقصان عدد و عن عدد ز.

ذلك ما أردنا أن نبين.

و - اجمع اعداد متوالية، على نسبة الضعف، من الواحد، مع الواحد، فتكن جملة ما.
اضرب في العدد الأكثر، من الأعداد التي جمعت، عدد مسطح، ضلعاه عددان أولان مختلفان، غير الاثنين، فإن العدد الذي يتولد من ذلك، عدد زائد أو عدد ناقص.
أما إن كان ذلك العدد المسطح اقل من الجملة التي جمعت، مع الذي يجتمع من ضربها في ضلعي ذلك العدد المسطح مجموعتين، فإن العدد المتولد عدد زائد، ومبلغ زيادته، كمبلغ زيادتهما على العدد المسطح.
أما إن كان ذلك العدد المسطح، أكثر من الجملة التي كانت جمعت، مع الذي يجتمع من ضربها في ضلعي ذلك العدد المسطح مجموعين، فإن العدد الذي كان تولد لنا، عدد ناقص، ومبلغ نقصانه، كمبلغ نقصانهما عن العدد المسطح.

فلتكن أعداد متوالية، على نسبة الضعف من الواحد، مع الواحد، وهي أعداد أ ب ج د ه .

لتكن جملتها عدد و.

ليكن عدد ز عددا مسطحا.

ليكن ضلعاه عددي ح ط، وليكونا عددين أولين مختلفين، وليس واحد منهما عدد الاثنين.

ليكن المجتمع، من ضرب عدد ه، في عدد ز، عدد ك.

ليكن المجتمع، من ضرب عدد و، في عددي، ح ط مجموعين، عدد ل.

أقول، إن عدد ك، عدد زائد أو عدد ناقص.

وإنه، إن كان عدد ز، أقل من عددي ل و مجموعين، فإن عدد ك، عدد زائد، ومبلغ زيادته، كمبلغ زيادة، عددي ل و، على عدد ز .

وإن كان عدد ز، أكثر من عددي، ل و مجموعين، فإن عدد ك، عدد ناقص، ومبلغ نقصانه، كمبلغ نقصان عددي ل و مجموعين، عن عدد ز.

برهان ذلك:

انا جعلنا الاعداد المجتمعة، من ضرب اعداد ب ج د ه، على تواليها، في عدد ح، أعداد م ن س ع، على تواليها.

والأعداد المجتمعة، من ضرب أعداد، ب ج د ه، أيضاً على تواليها، في عدد ط، أعداد ف ص ق ر، على تواليها.

والأعداد المجتمعة، من ضرب عدد ز، في أعداد ب ج د، على تواليها، أعداد ش ت ث على تواليها.

إن عدد ك، عدد مسطح، وضلعاه، عددا ه ز المركبان، إذ كان قد ضرب أحدهما في الآخر، فاجتمع عدد ك.

فعدد ك إذاً، يعده من الأعداد الأخر، عددا ه ز، وكل عدد يعد عدد ه، وكل عدد يعد عدد ز، وكل عدد مجتمع، من ضرب عدد ه، في كل عدد يعد ز، وكل عدد مجتمع، من ضرب عدد ز، في كل عدد يعد عدد ه، وكل عدد مجتمع، من ضرب كل عدد يعد عدد ه، في كل عدد يعد عدد ز، ولا يعد عدد ك، عدد آخر غير هذه الأعداد.

فأما عدد ه، فيعده اعداد ب ج د، ولا يعده عدد اخر غيرها، لأنها متوالية على نسبة واحدة من الواحد، والذي يلي الواحد منها، عدد أول. فليس يعد أكثرها، إلا عدد من أعداد هذه النسبة.

وأما عدد ز، فيعده عددا ح ط، اللذان هما ضلعاه، وهما عددان أولان. فليس يعده عدد آخر غيرهما.

فعدد ك، يعده:

- عددا ه ز.

- كل عدد آخر، يعد عدد ه، وهي أعداد ب ج د.

- كل عدد آخر، يعد عدد ز، وهما عددا ح ط .

- كل الأعداد التي تجتمع من ضرب ه، في كل عدد آخر يعد ز، وهي عددا ع ر.

- كل الأعداد التي تجتمع من ضرب عدد ز، في كل عدد آخر يعد ه، وهي أعداد ش ت ث.

- كل الأعداد، التي تجتمع من ضرب كل عدد آخر، يعد عدد ز، في كل عدد آخر، يعد عدد ه، وهي اعداد م ن س، وأعداد ف ص ق .

وليس يعد عدد ك، عدد آخر، غير هذه الأعداد التي ذكرنا، ويعده الواحد، فهي إذاً، والواحد، كل جزء لعدد ك، وليس منها واحد يساوي صاحبه، فيكون مكرراً معاداً.

ذلك، ان عدد ز، ضرب في أعداد ب ج د، فاجتمعت أعداد ش ت ث.

الذي يكون من ضرب أ، في عدد ز، هو عدد ز، لأن أ الواحد.

نسب أعداد، ز ش ت ث ك، بعضها إلى بعض، كنسب أ ب ج د ه، بعضها إلى بعض، فهي إذاً متوالية على نسبة الضعف.

بمثل ذلك أيضاً، نبين أن أعداد، ح م ن س ع، وأعداد، ط ف ص ق ر، متوالية أيضاً على مثل هذه النسبة.

إذا، أعداد، ز ش ت ث ك، ليس منها عدد يساوي صاحبه، لأنها متوالية على نسبة الضعف.

كذلك أعداد، ح م ن س ع.

كذلك أعداد، ط ف ص ق ر، ليس منها عدد يساوي صاحبه.

كذلك أيضاً، أ ب ج د ه.

كذلك نبين، أن ليس من أعداد، ز ش ت ث، عدد يساوي شيئا من أعداد، ح م ن س ع.

ذلك أنه إن ساوى من تلك، عدداً من هذه، فإنه، إنما يساوي منها، إما نظيره في المرتبة، وإما ما هو قبل نظيره، وإما ما هو بعد نظيره.

فإن ساوى شيء منها، مثل عدد ت نظيره، وهو عدد ن، فإنه يتبين من نسبة المساواة، أن نسبة ت إلى ز، كنسبة ن إلى ح

فإن كان عدد ت، مثل عدد ن، فإن عدد ز، يكون مثل عدد ح.

ليس يمكن أن يكون ذلك كذلك، لأن عدد ز أكثر منه، إذ كان عدد ح، أحد ضلعيه.

وإن ساوى شيء منها، من تلك، ما قبل نظيره من هذه، مثل عدد ت مثلاً، إن ساوى عدد م، فإن عدة أعداد، ت ش ز، تكون أكثر من عدة م ح.

إن أخذنا منها، ما يكون عدته، كعدة م ح، وهو ت ش، فإن نسبة ت إلى ش، تكون كنسبة م إلى ح .

إن كان عدد ت، مثل عدد م، فإن عدد ش، يكون مثل عدد ح.

عدد ش أكثر من عدد ز، فعدد ح أكثر من عدد ز، وليس يمكن أن يكون ذلك كذلك، لأنه ضلعه.

وإن ساوى شيء من تلك، شيئا مما بعد نظيره في المرتبة، من هذه، كعدد ت مثلاً، إن ساوى عدد ع، فإن عدة أعداد، ع س ن م ح، تكون أكثر من عدة، ت ش ز.

إن أخذنا منها، ما يكون عدته، مثل عدة أعداد، ت ش ز، وهي أعداد ع س ن ، وهو بيّنٌ أنها على نسبتها ، كانت بنسبة المساواة، نسبة ت إلى ز، كنسبة ع إلى ن.

إن كان ع مثل ت، فإن ز مثل ن.

نأخذ من أعداد، أ ب ج د ه، ما يكون عدته، مثل عدة أعداد، ح م ن، وهو أ ب ج، فيكون، بنسبة المساواة، نسبة ح إلى ن، كنسبة أ إلى ج، فالذي يكون من ضرب الأول، وهو ح، في الرابع، وهو ج، مثل الذي يكون من ضرب الثاني، وهو ن، في الثالث، وهو أ.

لكن، الذي يكون من ضرب ن في أ، هو ن، لأن أ هو الواحد، فالذي يكون، من ضرب ح، في ج، هو عدد ن.

كنا بينا، أن ن مثل عدد ز، فالذي يكون، من ضرب ح، في ج، هو عدد ز.

عدد ز، أيضاً مجتمع من ضرب ح في ط.

فعدد ط مثل عدد ج.

عدد ج، هو واحد من الأعداد المتوالية، على نسبة الضعف من الواحد.

فعدد ط ، هو واحد من الأعداد المتوالية، على نسبة الضعف من الواحد.

كل واحد من هذه الأعداد التي ذكرنا، إما أن يكون عدداً مركباً، وإما أن يكون عدد الاثنين.

فعدد ط، إما أن يكون عدداً مركباً، وإما أن يكون عدد الاثنين.

كنا اشترطنا أنه ليس كذلك.

فليس إذا، من أعداد، ز ش ت ث، عدداً يساوي شيناً من أعداد، ح م ن س ع.

بمثل ذلك أيضا، يتبين أنه ليس منها شيء، يساوي واحداً من أعداد، ط ف ص ق ر.

ولا منها أيضا شيء، يساوي واحدا من أعداد، أ ب ج د ه، لأنه لو ساوى واحد منها نظيره، أو ما قبل نظيره في المرتبة، لبينا بمثل السبيل التي تقدمت، أنه يجب من ذلك، أن يكون عدد ز، أو عدد آخر منها، يساوى أ الذي هو الواحد.

ولو ساوى عدد منها، شيئا مما بعد نظيره في المرتبة، لبينا بمثل السبيل التي تقدمت، أنه يجب من ذلك، أن يكون عدد ز، يساوي واحداً من أعداد ب ج د ه، فيعده.

لكن عدد ز، لا يعده غير ضلعيه، اللذين هما ح ط، إذ كانا أولين.

فعددا ح ط، هما بعض أعداد، ب ج د ه، وكل واحد من أعداد ب ج د ه، عدد مركب أو هو عدد الاثنين.

فكل واحد من عددي، ح ط، هو عدد مركب، أو هو عدد الاثنين.

كنا اشترطنا، أن عددي ح ط، ليسا كذلك، هذا خلف، فليس يمكن أن يساوي شيء، من أعداد ز ش ت ث، شيناً من أعداد أ ب ج د ه.

أقول أيضا، إنه ليس من أعداد ب ج د ه شيء، يساوي عدداً من أعداد، ح م ن س ع، او من أعداد، ط ف ص ق ر.

فأنه إن ساوى نظيره منها، بينا بمثل المذهب الذي قد تقدم، أنه يجب من ذلك، أن يكون عدد ح، أو عدد ط، من هذه، هو أ من تلك، الذي هو الواحد، ولا يمكن ذلك.

إن ساوى واحد من هذه، ما قبل نظيره من تلك، بينا بمثل ذلك المذهب، أنه يجب من ذلك، أن يكون عدد آخر من هذه، غير عددي ح ط، هو الواحد، ولا يمكن ذلك.

وإن ساوى واحد من هذه، ما بعد نظيره من تلك، بينا بمثل ما تقدم، أن أحد عددي ح ط، يساوي واحداً من أعداد، ب ج د ه.

فيجب من ذلك، أن يكون أحد عددي ح ط، عدداً مركباً، أو عدد الاثنين.

كل هذه الوجوه التي ذكرنا، غير مكن، فليس في أعداد، ب ج د ه شيء، يساوي واحدا من أعداد، ح م ن س ع، أو من أعداد، ط ف ص ق ر.

أقول أيضا، إنه ليس من أعداد، ح م ن س ع، شيء، يساوي واحداً من أعداد، ط ف ص ق ر .

ذلك أنه إن ساوى شيء منها، شيئاً منها، فإنه أيضاً، إما ان يساوي ما هو نظيره، وإما ان يساوي ما ليس بنظيره.

إن ساوى نظيره، بينا بمثل المسلك الذي قد تقدم وصفه، أن عددي ح ط متساويان، وقد كنا شرطنا أنهما مختلفان، وهذا خلف، لا يمكن.

إن ساوى واحد منها، ما ليس بنظيره من الآخر، بينا بمثل السبيل التي قد تقدمت، أنه يجب من ذلك، أن يكون عدد ح مساويا، لأحد أعداد، ف ص ق ر، أو عدد ط مساوياً، لأحد أعداد، م ن س ع.

لكن كل واحد من هذين الأمرين غير ممكن، لأن عددي ح ط، أولان، وأعداد، م ن س ع، وأعداد، ف ص ق ر، أيضاً جميعا مركبة، لأن كل واحد منها، يعده ما قبله من الأعداد الأخر التي وضعناها.

فليس إذاً من جميع الأعداد التي ذكرنا، شيء يساوي صاحبه.

أيضاً، أعداد أ ب ج د ه، ضربت في عدد ز، واجتمعت أعداد ز ش ت ث ك.

نسب أعداد، ز ش ت ث ك، بعضها إلى بعض، كنسب أعداد، أ ب ج د ه، بعضها إلى بعض.

أ ب ج د ه، متوالية على نسبة الضعف، فأعداد ز ش ت ث ك، متوالية على نسبة الضعف.

أعداد ز ش ت ث، إذا جمعت، كانت أقل من عدد ك، مثل عدد ز. (د، أعداد متوالية)

أيضاً، فإن أ ب ج د ه، إذا ضربت في عدد ح، كان منها أعداد، ح م ن س ع .

لهذا، ح م ن س ع، إذا جمعت، مثل الذي يكون من ضرب جملة أ ب ج د ه، التي هي عدد و في عدد ح.

كذلك أيضا، نبين أن أعداد، ط ف ص ق ر، إذا جمعت، هي مثل الذي يكون من ضرب عدد و، في عدد ط.

فجملة أعداد، ح م ن س ع، وأعداد، ط ف ص ق ر، إذا جمعت، مثل المجتمع من ضرب عدد و في عددي ح ط مجموعين، الذي هو عدد ل، فجملة هذه الأعداد التي ذكرنا، هي عدد ل .

جملة أ ب ج د ه، هي عدد و.

كنا بينا، أن أعداد، ز ش ت ث، إذ جمعت، كانت أقل من عدد ك، بمثل عدد ز.

فيكون أعداد، ز ش ت ث، وأعداد، ح م ن س ع، وأعداد، ط ف ص ق ر، وأعداد، ب ج د ه، و أ، الذي هو الواحد معها، إذا جمعت كلها، مثل اعداد ل و ك، إذا جمعت، ونقص منها عدد ز.

لكن هذه الأربع الجماعات، التي ذكرنا من الأعداد، والواحد معها، قد بينا أن كل واحد منها جزء لعدد ك، وأنه ليس له جزء غيرها، وأنه ليس منها شيء مكرر معاد، فإذا جمع إذاً كل جزء لعدد ك، كانت جملة ذلك مثل اعداد ك و ل، إذا جمعت، ونقص منها عدد ز.

فلو أمكن إذا، أن يكون عدد ز، مساوياً لعددي ل و مجموعين، لكان إذا نقص عدد ز، من أعداد ل و ك مجموعة، بقي عدد ك، مساوياً للجملة الحاصلة من جمع كل جزء له، و يكون عدداً تاماً.

إن كان عدد ز، أقل من عددي ل و مجموعين، فإنه إذا نقص عدد ز، من أعداد ل و ك مجموعة، بقي شيء هو أكثر من عدد ك، مساويا للجملة الحاصلة من جمع كل جزء لعدد ك، فيكون عدد ك، عددا زائد، ويكون مبلغ زيادته، كمبلغ زيادة عددي ل و مجموعين، على عدد ز.

إن كان عدد ز، أكثر من عددي ل و مجموعين، فإنه إذا نقص عدد ز، من أعداد ل و ك مجموعة، بقي شيء، هو أقل من عدد ك، مساوياً للجملة الحاصلة، من جمع كل جزء، لعدد ك، فيكون عدد ك عدداً ناقصا، ويكون مبلغ نقصانه، كمبلغ نقصان عددي ل و مجموعين، عن عدد ز.

عدد ز، لا يمكن أن يكون مساويا، لعددي ل و مجموعين.

ذلك أن عدد ل، مجتمع من ضرب عدد و، في عددي ح ط مجموعين، وعدد و، مثل المجتمع من ضرب و، في الواحد.

فعددا ل و، إذا جمعا، مثل المجتمع من ضرب عدد و، في عددي ح ط وزيادة واحد.

فإن كان عددا ل و مجموعين، مثل عدد ز، فإن عدد ز، مثل المجتمع من ضرب عدد و، في عددي ح ط مجموعين مزيداً عليهما واحد.

فكل واحد من عدد و، ومن عددي ح ط مع الواحد، يعد عدد ز، وليسا بمساويين لعددي ح ط.

كنا بينا، أنه لا يعد ز، عدد، غير عددي ح ط، هذا خلف.

فليس يمكن إذا، أن يكون عدد ك عدداً تاما، فهو إذا، عدد زائد، أو عدد ناقص.

أما إن كان عدد ز، أقل من عددي ل و مجموعين، فهو عدد زائد، ومبلغ زيادته، كمبلغ زيادة عددي ل و، على عدد ز.

أما إن كان عدد ز، أكثر من عددي ل و مجموعين، فهو عدد ناقص، ومبلغ نقصانه، كمبلغ نقصان عددي ل و مجموعين، عن عدد ز .