د -
كل أعداد متوالية على نسبة الضعف، كم كانت، فإن العدد الأكثر منها، يزيد على جملة الأعداد الباقية مجموعة، مثل أقلها، وكذلك إن كان أقلها الواحد.
لتكن أعداد متوالية على نسبة الضعف، وهي أعداد أ ب، ج د، ه و، ز ح، وليكن أقلها عدد أ ب، وأكثرها عدد ز ح.
أقول، إن عدد ز ح، يزيد على جملة أعداد ا ب، ج د، ه و، مجموعة، مثل عدد أ ب، وكذلك، إن كان أ ب هو الواحد.
برهان ذلك:
ننقص من عدد ج د، وهو الثاني، مثل الأول، وهو أ ب، ونجعل المنقوص ج ط.
ننقص من الأخير، وهو ز ح، مثل الأول، وهو أ ب، ونجعل المنقوص ز ك.
ان نسبة الباقي من الثاني، وهو ط د، إلى الأول، وهو أ ب، كنسبة الباقي من الأخير، وهو ك ح، إلى جملة أعداد أ ب ج د ه و مجموعة. (برهنت في الهوامش)
لكن الباقي من الثاني، وهو ط د، مثل الأول، وهو أ ب، لأن الثاني مثلا الأول.
الباقي إذاً من ز ح، وهو ك ح، مساو لجملة أ ب ج د ه و مجموعة.
لكن ز ك، قد كان مثل ا ب، فيكون جميع ز ح، زائداً على جملة أعداد ا ب ج د ه و مجموعة، مثل أ ب.
كذلك إن كان أ ب هو الواحد، وذلك ما أردنا أن نبين.
ز - كل أربعة أعداد، متوالية على نسبة الضعف، يكون أولها أقلها، فإن العدد المجسم، الذي أحد أضلاعه العدد الثالث منها، وضلعه الثاني، العدد الثالث والرابع مجموعين، وضلعه الثالث، العدد الثالث والثاني مجموعين، مثل العدد المجسم، الذي أحد أضلاعه، العدد الثالث منها، وضلعه الثاني، العدد الرابع منها، وضلعه الثالث، العدد الرابع والأول مجموعين.
فليكن، أربعة أعداد متوالية على نسبة الضعف، وهي أعداد، أ ب ج د، وأقلها أ.
أقول:
إن العدد المجسم، الذي يكون أحد أضلاعه عدد ج، وضلعه الثاني، عددي د ج مجموعين، وضلعه الثالث، عددي ب ج مجموعين، مثل العدد المجسم، الذي يكون أحد أضلاعه عدد ج، والضلع الثاني منه عدد د، والضلع الثالث عددا د أ مجموعين.
برهان ذلك:
اعداد ا ب ج د، متناسبة على التوالي.
نسبة ا إلى ب، كنسبة ب إلى ج، وكنسبة ج إلى د.
إذا جمعنا، ثم بدلنا، كانت نسبة أ ب مجموعين، إلى ب ج مجموعين، كنسبة ب إلى ج، التي هي كنسبة أ إلى ب، التي هي كنسبة ج إلى د.
إذا ركبنا، كانت نسبة ج د مجموعين، إلى د، كنسبة أ ج ومثلي ب مجموعة، إلى ب ج مجموعين.
لكن عدد ج، مثلا عدد ب، فيكون نسبة ج د مجموعين إلى د، كنسبة أ مع مثلي ج، إلى ب ج مجموعين.
لكن، مثلي عدد ج، هو عدد د، فنسبة ج د مجموعين إلى د، كنسبة أ د مجموعين، إلى ب ج مجموعين.
فالعدد المسطح، الكائن من ضرب الأول من هذه، وهو ج د مجموعين، في الرابع، وهو ب ج مجموعين، مثل العدد المسطح الكائن من ضرب الثاني، وهو د ، في الثالث، وهو أ د مجموعين.
إذا ضربنا عدد ج، في هذين المسطحين المتساويين جميعا، كان العدد المجسم، المجتمع من ضرب عدد ج، في العدد المسطح، الكائن من ضرب عددي د ج مجموعين، في عددي ب ج مجموعين، مثل العدد المجتمع، من ضرب عدد ج، في العدد المسطح الكائن من ضرب عدد د، في عددي د أ مجموعين.
ذلك ما أردنا أن نبين.
ح - كل أربعة أعداد، متوالية على نسبة الضعف، يكون أولها أقلها، فإن العدد المسطح، الذي أحد ضلعيه، العدد الثالث منها، وضلعه الآخر، العدد الثاني والرابع ومثلا الثالث مجموعة، مثل العدد المسطح، الذي أحد ضلعيه، العدد الرابع، وضلعه الآخر، العدد الرابع والأول مجموعين.
فلتكن أربعة أعداد، متوالية على نسبة الضعف، وهي أ ب ج د.
أقول، إن المسطح، الذي أحد ضلعيه، عدد ج، وضلعه الآخر، عددا ب د مع مثلي عدد ج مجموعة، مثل العدد المسطح، الذي أحد ضلعيه، عدد د، وضلعه الآخر، عددا د أ مجموعين.
برهان ذلك:
عدد د، مثلا عدد ج.
يكون، عدد د ومثلا عدد ج، مثلي عدد د.
عدد ب مثلا عدد أ .
يكون عدد د ومثلا عدد ج وعدد ب، مثلي عددي د أ مجموعين.
عدد د مثلا عدد ج .
يكون، نسبة ج إلى د، كنسبة عددي د أ مجموعين، إلى، عددي د ب مع مثلي عدد ج مجموعة.
فالسطح، الذي يكون من ضرب الأول، وهو عدد ج، في الرابع، وهو عددا ب د مع مثلي عدد ج، مثل السطح، الذي يكون من ضرب الثاني، وهو عدد د، في الثالث، وهو عددا د أ مجموعين.
ذلك ما أردنا أن نبين.
ط - كل أربعة أعداد، متوالية على نسبة الضعف، يكون أولها أقلها، فإن المسطح الكائن، من ضرب آخرها، في، أولها وآخرها غير واحد مجموعين، مثل المجتمع، من ضرب العدد الثالث منها، في فضل، ما بين، المسطح الكائن، من ضرب آخرها، في أولها وآخرها مجموعين، منقوصاً من هذا المسطح واحد، وبين المسطح الكائن، من ضرب، العدد الرابع والثالث منها غير واحد مجموعين، في العدد الثاني والثالث غير واحد مجموعين.
لتكن أربعة أعداد متوالية على نسبة الضعف، أ ب ج د.
أقلها عدد أ .
ليكن المسطح الكائن، من ضرب عدد د، في عددي د أ مجموعين مسطح ه .
ليكن المسطح الكائن، من ضرب عددي د ج غير واحد مجموعين، في عددي ب ج غير واحد مجموعين، مسطح و .
أقول، إن المجتمع من ضرب عدد د، في عددي أ د غير واحد مجموعين، مثل المجتمع، من ضرب عدد ج، في فضل ما بين عدد ه منقوصا منه واحد، وبين عدد و .
برهان ذلك:
ان اعداد أ ب ج د متوالية على نسبة الضعف.
عدد أ هو أقلها.
العدد المجسم، الكائن من ضرب عدد ج، في العدد المسطح الكائن، من ضرب عددي د ج مجموعين، في عددي ب ج مجموعين، مثل العدد المجسم الكائن، من ضرب عدد ج، في العدد المسطح الكائن، من ضرب عدد د، في عددي أ د مجموعين، الذي هو مسطح ه.
أيضا، فإن العدد المسطح الكائن، من ضرب عدد ج، في عددي ب د مع مثلي عدد ج مجموعة، مثل العدد المسطح الكائن، من ضرب عدد د، في عددي أ د مجموعين، الذي هو عدد ه.
إن نقصنا، هذين العددين المسطحين المتساويين، من العددين المجسمين المتساويين اللذين ذكرنا، كان ما يبقى متساوياً.
العدد المسطح الكائن، من ضرب عدد ج، في عددي ب د مع مثلي عدد ج مجموعة، إذا نقص، من العدد المجسم الكائن، من ضرب عدد ج، في العدد المسطح الكائن، من ضرب عددي د ج مجموعين، في عددي ب ج مجموعين، بقي المجتمع من ضرب عدد ج، في العدد المسطح الكائن، من ضرب عددي د ج مجموعين، في عددي ب ج مجموعين، بعد أن ينقص من هذا المسطح، عددا ب د مع مثلي عدد ج مجموعة.
عدد ه المسطح، هو مثل ضرب الواحد فيه، فإنه إذا نقص من المجسم المجتمع، من ضرب عدد ج في عدد ه، بقي المجتمع من ضرب عدد ج غير واحد، في عدد ه.
يكون المجتمع، من ضرب عدد ج، في المسطح الكائن، من ضرب عددي د ج مجموعين في عددي ب ج مجموعين، بعد أن ينقص من هذا المسطح، عددا ب د ومثلا عدد ج، مثل المجتمع من ضرب عدد ج غير واحد، في عدد ه.
إذا المسطح الكائن، من ضرب عددي د ج مجموعين، في عددي ب ج مجموعين، إذا نقص منه عددا ب د ومثلا عدد ج، فإن الباقي، يكون مثل المسطح، المجتمع من ضرب، عددي د ج غير واحد، في عددي ب ج غير واحد، منقوصاً من هذا السطح واحد.
هذا المسطح هو عدد و .
إذا المجتمع، من ضرب عدد ج، في عدد و المسطح منقوصا من عدد و واحد، مثل المجتمع، من ضرب عدد ج غير واحد، في عدد ه المسطح.
إذا زدنا عليهما جميعاً، زيادة مشتركة، وهي ما يجتمع من ضرب الواحد في عدد ه، كان المجتمع، من ضرب عدد ج، في عدد و المسطح منقوصاً من عدد و واحد مع عدد ه، مثل المجتمع، من ضرب عدد ج، في عدد ه.
إذا نقصنا منها جميعاً، نقصاناً مشتركاً، وهو المجتمع، من ضرب عدد ج، في عدد و، كان الباقي، وهو عدد ه منقوصاً منه ما يجتمع من ضرب عدد ج في الواحد، مثل الباقي، وهو المجتمع من ضرب عدد ج، في فضل ما بين عددي ه و.
إذا نقصنا أيضا منهما جميعا، نقصاناً مشتركاً، وهو ما يجتمع من ضرب عدد ج في الواحد، كان الباقي، وهو عدد ه منقوصاً منه ما يجتمع من ضرب عدد ج في الواحد مرتين، مثل الباقي، وهو المجتمع من ضرب عدد ج في فضل ما بين عددي ه و غير الواحد.
المجتمع، من ضرب عدد ج في الواحد مرتين، مثل المجتمع، من ضرب عدد د في الواحد مرة واحدة، لأن عدد د، ضعف عدد ج.
يصير، عدد ه منقوصاً منه عدد د، مثل المجتمع، من ضرب عدد ج في فضل ما بين عددي ه و غير واحد.
عدد ه، قد كان مثل المجتمع، من ضرب عدد د، في عددي أ د مجموعين.
المجتمع، من ضرب عدد د في عددي أ د مجموعين، منقوصا منه عدد د، مثل المجتمع، من ضرب عدد د، في عددي أ د غير واحد، مساوياً للمجتمع من ضرب عدد ج، في فضل ما بين عددي ه و غير واحد.
فضل ما بين عددي ه و غير واحد، هو مثل فضل ما بين عدد ه غير واحد، وبين عدد و.
المجتمع إذا، من ضرب عدد د، في عددي أ د غير واحد، مثل المجتمع من ضرب عدد ج، في عدد فضل، ما بين عدد ه غير واحد، وبين عدد و.
ذلك ما أردنا أن نبين.
Home