بسم الله الرحمن الرحيم، وما توفيقي إلا بالله،
نقل، اسحق بن حنين، إصلاح، ثابت بن قرة، وهو، أربعة عشرة شكلا.
١ - كل سطح، متوازي الاضلاع، قائم الزوايا، فإن، الخطين، المستقيمين، المحيطين، بإحدى زواياه، القائمة، يقال لهما، المحيطان به.
٢ - كل سطح، متوازي الاضلاع، فليُسَمّى، أحد السطحين، المتوازي الاضلاع، الذين على قطره، أيهما كان، مع كلي السطحين المتممين، العلم.
١ - إذا كان، خطان مستقيمان، وقسم أحدهما، أقساما، كم كانت، فإن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخطان المستقيمان، مساو، للسطوح، القائمة الزوايا، التي يحيط بها، الخط، الذي لم يقسم، وكل واحد، من الاقسام.
ليكن، الخطان المستقيمان، وعليهما، أ، ب ج.
ليقسم، ب ج، بأقسام، كم كانت، على نقطتي، د ه.
أقول:
إن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، ب ج، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، ب د، والسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ، د ه، والسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ، ه ج أيضا.
برهان ذلك:
ليخرج، من نقطة ب، من خط، ب ج، المستقيم، خطا، مستقيما، على زاوية قائمة، وهو، ب ن.
ليصير، خط، ب ن، المستقيم، مساويا، لخط، أ المستقيم.
ليخرج، من نقطة، ن، خط، ن ح، مواز، لخط، ب ج، المستقيم.
ليخرج، من نقط، د، ه، ج، خطوطا، موازية، لخط، ب ن.
سطح، ب ح، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، ب ج، لأن، خط، ب ن، مساو، للخط، أ.
سطح، ب ط، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، ب د، لأن، خط، ن ب، مساو، لخط، أ.
سطح، د ك، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، د ه، لأن، خط، أ، مساو، لخط، د ط.
سطح، ه ح، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، ه ج، لأن، خط، أ، مساو، لخط، ه ك.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، ب ج، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، ب د، والسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، د ه والسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ، ه ج.
فإذا كان، خطان مستقيمان، وقسم أحدهما، أقساما، كم كانت، فإن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخطان المستقيمان، مساو، للسطوح، القائمة الزوايا، التي يحيط بها، الخط، الذي لم يقسم، وكل واحد، من الاقسام.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
٢ - إذا، قسم، خط مستقيم، كيف ما اتفق، فإن السطوح، القائمة الزوايا، التي، يحيط بها، الخط كله، وكل واحد، من أقسامه، مساوية، للمربع، الكائن، من الخط كله.
ليكن، خط مستقيم، عليه، أ ب، وليقسم، كيف ما اتفق، على نقطة، ج.
أقول:
إن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، أ ب، والسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ج ب، أ ب، مساو، للمربع، الكائن، من، أ ب.
برهان ذلك:
ليعمل، من خط، أ ب، مربعا، عليه، أ ب ه د.
نخرج، من نقطة، ج، خطا، مستقيما، موازيا، لكل واحد من، خطي، أ د، ب ه، وهو، ج ن.
كل واحد، من سطحي، أ ن، ج ه، متوازي الاضلاع.
سطح، أ ه، مساو، لسطحي، أ ن، و، ج ه.
خط، أ ب، مساو، لخط، أ د.
سطح، أ ن، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ ج، أ ب، لأنه، يحيط به، خطا، أ ج، أ د.
خط، أ ب، مساو، لخط، ج ن.
سطح، ج ه، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ ب، ج ب، لأنه، يحيط به، خطا، ج ب، ج ن.
سطح، أ ه، هو المربع، الكائن، من خط، أ ب.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، أ ب، مع السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ج ب، أ ب، مساو، للمربع، الكائن، من، أ ب.
فإذا، قسم، خط مستقيم، كيف ما اتفق، فإن السطوح، القائمة الزوايا، التي، يحيط بها، الخط كله، وكل واحد، من أقسامه، مساوية، للمربع، الكائن، من الخط كله.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
٣ - إذا، قسم، خط مستقيم، بقسمين، كيف ما اتفق، فإن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط كله، وأحد قسميه، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، القسمان، والمربع، الكائن، من القسم، الذي ذكرنا.
ليكن، خط مستقيم، عليه، أ ب.
ليقسم، كيف ما اتفق، على نقطة، ج.
أقول:
إن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب، والمربع، الكائن، من، ج ب، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ ب، ج ب.
برهان ذلك:
ليعمل، من خط، ج ب، مربعا، عليه، ج ب ه د.
نتم، سطح، أ ج د ن، المتوازي الاضلاع.
سطح، أ ه، مساو، لسطح، أ د، مع سطح، ج ه.
خط، أ ن، مساو، ل، ج ب.
أ ه، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب.
خط، ج ب، مساو، ل خط، ج د.
سطح، أ د، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب.
سطح، ج ه، هو المربع، الكائن، من، ج ب.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب، والمربع، الكائن، من، ج ب.
فإذا، قسم، خط مستقيم، بقسمين، كيف ما اتفق، فإن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط كله، وأحد قسميه، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، القسمان، والمربع، الكائن، من القسم، الذي ذكرنا.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
٤ - إذا قسم، خط مستقيم، بقسمين، كيف ما إتفق، فإن المربع، الكائن، من الخط كله، مساو، للمربعين، الكائنين، من القسمين، وضعف، السطح القائم الزوايا، الذي يحيط به، القسمان.
ليكن، خط مستقيم، عليه، أ ب.
ليقسم، كيف ما إتفق، على نقطة، ج.
أقول:
إن المربع، الكائن، من، أ ب، مساو، للمربعين، الكائنين، من، أ ج، ج ب، وضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب.
برهان ذلك:
نعمل، من، أ ب، مربعا، عليه، أ ب ه د.
نصل، ب د.
نخرج، من نقطة ج، خطا، موازيا، لخطي، أ د، ب ه، وهو، ج ح ن.
نخرج، من نقطة، ح، خطا، موازيا، لخطي، أ ب، د ه، وهو، ط ك.
خط، أ د، مواز، لخط، ج ن.
وقع، عليهما، خط، ب د، المستقيم.
زاوية، ج ح ب، الخارجة، مساوية، لزاوية، أ د ب، الداخلة، التي تقابلها.
ضلع، أ ب، مساو، لضلع، أ د.
زاوية، أ د ب، مساوية، لزاوية، أ ب د.
زاوية، أ ب د، مساوية، لزاوية، ج ح ب.
ضلع، ج ب، مساو، لضلع، ج ح.
ضلع، ج ب، مساو، لضلع، ح ك.
خطوط، ج ب، ب ك، ج ح، ح ك، الأربعة، مساو، بعضها لبعض.
سطح، ج ك، متساوي الاضلاع.
أقول، أنه أيضا، قائم الزوايا.
ج ح، مواز، ل، ب ك.
قد وقع عليهما، ج ب.
يكون، زاويتا، ح ج ب، ج ب ك، مساويتين، لقائمتين.
زاوية، ج ب ك، قائمة.
زاوية، ح ج ب، قائمة.
كذلك، زاويتا، ج ح ك، ب ك ح، المتقابلتان، لهما، قائمتين.
سطح، ج ب ك ح، قائم الزوايا.
قد كان تبين، أنه، متساوي الاضلاع.
سطح، ج ك، مربع، وهو الكائن، من، ج ب.
كذلك نبين، أن سطح، ط ن، أيضا، مربع، وهو الكائن، من، ط ح، الذي هو، مساو، لخط، أ ج.
سطحا، ط ن، ج ك، مربعان، وهما مساويان، للمربعين، الكائنين، من، أ ج، ج ب.
فلذلك، يكون، ح ه، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب.
ومتمم، أ ح، هو السطح الكائن، من، أ ج، ج ب، لأن، ج ب، مساو، ل، ج ح، وهو، مساو، لمتمم، ح ه.
قد تبين، أن سطحي، ط ن، ج ك، مساويان، للمربعين، الكائنين، من خطي، أ ج، ج ب.
سطوح، ط ن، ج ك، أ ح، ح ه، هي سطح، أ ب ه د، كله، الذي هو، المربع، الكائن، من، أ ب.
فالمربع، الكائن، من، أ ب، مساو، للمربعين، الكائنين، من، أ ج، ج ب، وضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ ج، ج ب.
فإذا قسم، خط مستقيم، بقسمين، كيف ما إتفق، فإن المربع، الكائن، من الخط كله، مساو، للمربعين، الكائنين، من القسمين، وضعف، السطح القائم الزوايا، الذي يحيط به، القسمان.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
قد تبين، من هذا الشكل، أن السطوح، المتوازية، الاضلاع، التي تكون، على أقطار، سطوح، مربعة، هي أيضا، مربعة.
قال ثابت، وجدنا، في بعض النسخ، أنه يتبين، على وجه آخر، أن المربع، الكائن، من، أ ب، مساو، للمربعين، الكائنين، من، أ ج، ج ب، وضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب.
أ ب مساو، ل، أ د.
زاوية، أ ب د، مساوية، لزاوية، أ د ب.
كل مثلث، فإن زواياه الثلاثة، مساويين، لزاويتين، قائمتين.
زوايا، ب أ د، أ ب د، أ د ب، الثلاثة، من مثلث، أ ب د، مساوية، لزاويتين قائمتين.
زاوية، ب أ د، قائمة.
زاويتا، أ ب د، أ د ب، الباقيتان، مساويتان، لزاوية قائمة.
هما متساويتان.
كل واحدة، من، زاويتي، أ ب د، أ د ب، نصف قائمة.
زاوية، ب ج ح، قائمة، لأنها مساوية، للزاوية التي عند، أ، التي تقابلها.
زاوية، ج ح ب، الباقية، نصف قائمة.
زاوية، ج ح ب، إذا، مساوية، لزاوية، ج ب ح.
ضلع، ج ب، مساو، لضلع، ج ح.
ج ب، مساو، ل، ح ك.
ج ح، مساو، ل، ب ك.
سطح، ج ك، متساوي الاضلاع.
زاوية، ج ب ك، منه قائمة.
ج ك، مربع، وهو الكائن، من، ج ب
لهذه الأشياء، أيضا نبين، أن، ط ن، مربعا، مسطحا.
ج ك، و، ط ن، مربعان، وهما، مساويان، للمربعين، الكائنين، من، خطي، أ ج، ج ب.
أ ح، مساو، ل، ح ه.
أ ح، الذي هو، يحيط به، خطا، أ ج، ج ب، لأن، ج ح، مساو، ل، ج ب.
ح ه، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب.
سطحا، أ ح، ح ه، مساويان، لضعف السطح، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب.
سطوح، ج ك، ط ن، أ ح، ح ه، مساوية، للمربعين، الكائنين، من، أ ج، ج ب، وضعف السطح، الذي يحيط به، خطا، أ ج، ج ب.
سطحا، ج ك، ط ن، وسطحا، أ ح، ح ه، هي، أ ه كله، الذي هو، المربع، الكائن، من، أ ب.
مربع، أ ب، مساو، للمربعين، الكائنين، من، أ ج، ج ب، وضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ ج، ج ب .
ذلك، ما أردنا، أن نبين
٥ - إذا، قسم، خط مستقيم، على قسمين، متساويين، وقسمين، غير متساويين، فإن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، قسما، الخط كله، اللذان، ليسا، بمتساويين، مع المربع، الكائن، من الخط، الكائن، فيما بين، موضعي، القسمين، مساو، للمربع، الكائن، من نصف، الخط.
ليكن، خط مستقيم، عليه، أ ب.
ليقسم، قسمين، متساويين، على نقطة، ج.
ليقسم، قسمين، غير متساويين، على نقطة، د.
أقول:
إن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ د، د ب، مع المربع، الكائن، من، ج د، مساو، للمربع، الكائن، من، ج ب.
برهان ذلك:
يعمل، من خط، ج ب، مربع، ج ب ر ه.
نرسم، الشكل.
نتمم، سطح، أ ج ل ط، المتوازي الاضلاع.
ج ح، مساو، ل، ح ر.
نجعل، د ك، مشتركا.
يكون، ج ك، كله، مساو، ل، د ر، كله.
ضلع، أ ج، مساو، لضلع، ج ب.
سطح، أ ل، مساو، لسطح، ج ك.
سطح، أ ل، مساو، لسطح، د ر.
نجعل، ج ح، مشتركا.
سطح، أ ح، كله، مساو، لعلم، س ن م.
أ ح، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ د، د ب.
نجعل، ل ع، الذي هو، مساو، للمربع، الكائن، من، ج د، مشتركا.
علم، س ن م، مع، ل ع، مثل السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ د، د ب، والمربع، الكائن، من، ج د.
علم، س ن م، وسطح، ل ع، هما، سطح، ج ر، كله، وهو المربع، الكائن، من، ج ب.
فالسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ د، د ب، مع المربع، الكائن من، ج د، مساو، للمربع، الكائن، من، ج ب.
فإذا، قسم، خط مستقيم، على قسمين، متساويين، وقسمين، غير متساويين، فإن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، قسما، الخط كله، اللذان، ليسا، بمتساويين، مع المربع، الكائن، من الخط، الكائن، فيما بين، موضعي، القسمين، مساو، للمربع، الكائن، من نصف، الخط.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
٦ - إذا، قسم، خط مستقيم، بنصفين، وزيد عليه، خط مستقيم، على إستقامته، فإن، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط، به، الخط كله مع الزيادة، والزيادة، مع المربع، الكائن، من نصف الخط، مساو، للمربع، الكائن، من نصف الخط، المركب، من نصف الخط، والزيادة.
ليكن، خط، مستقيم، عليه، أ ب.
ليقسم، بنصفين، على نقطة، ج.
ليزاد عليه، خط مستقيم، على إستقامته، وهو، ب د.
أقول:
إن السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ د، ب د، مع المربع، الكائن، من، ج ب، مساو، للمربع، الكائن، من، ج د.
برهان ذلك:
يعمل، من، ج د، مربع، ج د ر ه.
نرسم، الشكل.
نتمم، سطح، أ ج ك ط، المتوازي الاضلاع.
أ ج، مساو، ل، ج ب.
سطح، أ ك، المتوازي الاضلاع، مساو، لسطح، ج ح، المتوازي الاضلاع.
سطح، ج ح، مساو، لسطح، ح ر.
سطح، أ ك، مساو، لسطح، ح ر.
نجعل، ج ل، مشتركا.
سطح، أ ل، كله، مساو، لعلم، م ن س.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ د، ب د، مساو، للسطح، أ ل، القائم الزوايا، لأن، ب د، مساو، ل، د ل.
علم، م ن س، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ د، ب د.
سطح، ك ع، مساو، للمربع، الكائن، من، ج ب.
علم، م ن س، مع سطح، ك ع، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ د، ب د، والمربع، الكائن، من، ج ب.
علم، م ن س، ومربع، ك ع، هو سطح، ج ر، كله، الذي هو، المربع، الكائن، من، ج د.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ د، ب د، مع المربع، الكائن، من، ج ب، مساو، للمربع، الكائن، من، ج د.
فإذا، قسم، خط مستقيم، بنصفين، وزيد عليه، خط مستقيم، على إستقامته، فإن، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط، به، الخط كله مع الزيادة، والزيادة، مع المربع، الكائن، من نصف الخط، مساو، للمربع، الكائن، من نصف الخط، المركب، من نصف الخط، والزيادة.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
٧ - إذا، قسم، خط مستقيم، بقسمين، كيف ما إتفق، فإن المربع، الكائن، من الخط، كله، والمربع، الكائن، من أحد قسميه، إذا جمعا، مساويان، لضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط كله، والقسم، الذي ذكرنا، والمربع، الكائن، من القسم، الباقي.
فليكن، خط مستقيم، عليه، أ ب.
ليقسم، كيف ما إتفق، على نقطة، ج.
أقول:
إن المربعين، الكائنين، من خطي، أ ب، ج ب، مساويان لضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب، والمربع، الكائن، من، أ ج.
برهان ذلك:
نرسم، من، أ ب، مربعا، عليه، أ ب ه د.
نرسم الشكل.
سطح، أ ز، مساو، لسطح، ز ه.
نجعل، ج ك، مشتركا.
أ ك، كله، مساو، ل، ج ه، كله.
أ ك، مع، ج ه، ضعف، أ ك.
أ ك، مع، ج ه، هو علم، ل م ن، ومربع، ج ك.
علم، ل م ن، ومربع، ج ك، هما، ضعف، أ ك.
أ ك، هو السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب، لأنه، يحيط به، خطا، أ ب، ب ك، و ج ب، مساو، ل، ب ك.
علم، ل م ن، ومربع، ج ك، مساويان، لضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب.
نجعل المربع، الكائن من، أ ج، مشتركا، وهو مربع، ط ح.
ضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط، خطا، أ ب، ج ب، مع المربع، الكائن، من، أ ج، مساو، لعلم، ل م ن، وسطحي، ج ك، ط ح.
علم، ل م ن، وسطحا، ج ك، ط ح، هي، أ ه، كله، و ج ك.
أ ه، هو المربع، الكائن، من، أ ب.
ج ك، هو المربع، الكائن، من، ج ب.
المربعان، الكائنان، من، أ ب، و، ج ب، مساويان، لضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب، والمربع، الكائن، من، أ ج.
فإذا، قسم، خط مستقيم، بقسمين، كيف ما إتفق، فإن المربع، الكائن، من الخط، كله، والمربع، الكائن، من أحد قسميه، إذا جمعا، مساويان، لضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط كله، والقسم، الذي ذكرنا، والمربع، الكائن، من القسم، الباقي.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
٨ - إذا، قسم، خط مستقيم، بقسمين، كيف ما إتفق، فإن، أربعة أمثال السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط كله، وأحد قسميه، مع المربع، الكائن، من القسم الباقي، مساويان، للمربع، الكائن، من الخط كله، والقسم، الذي تقدم ذكره، إذا جعلا، كخط، مستقيم.
ليكن، خط، مستقيم، عليه، أ ب.
ليقسم، كيف ما إتفق، على نقطة، ج.
أقول:
إن، أربعة أمثال السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب، والمربع، الكائن، من، أ ج، مساو، للمربع، الكائن، من، أ ب و ج ب، إذا جعلا، كخط واحد.
برهان ذلك:
ليخرج، أ ب، إلى نقطة، د.
ليكن، ب د، مساو، ل، ج ب.
نعمل، من، أ د، مربع، أ د ه ز.
ليوصل، د ز.
ليخرج، من نقطتي، ج، ب، خطين، موازيين، لخطي، أ ز، د ه، وهما، ج ح، ب ط.
ليخرج، من نقطتي، ك، ق، خطين، موازيين، لخطي، أ د، ز ه، وهما، م ن، س ر.
الاضلاع، والزوايا، المتقابلة، من السطوح، المتوازية الاضلاع، مساو، بعضها لبعض.
ج ب، مساو، ل، ف ك، ومساو، ل، ق ع.
ب د، مساو، ل، ك ن، ومساو، ل، ع ر.
ج ب، مساو، ل، ب د.
ف ك، مساو، ل، ك ن، و ق ع، مساو، ل، ع ر.
السطوح، المتوازية الاضلاع، التي، على قواعد، متساوية، وفى جهة واحدة، فيما بين خطوط، بأعينها متوازية، مساو، بعضها لبعض.
سطح، ج ك، مساو، لسطح، ب ن.
سطح، ف ع، مساو، لسطح، ك ر.
سطح، ق ط، مساو، لسطح، ع ه.
سطح ج د ر ق متوازي الاضلاع.
سطحا، ج ك، ك ر، هما المتممان.
سطح، ج ك، مساو، لسطح، ك ر، فكل سطح، متوازي الاضلاع، فإن السطحين، المتوازيين الاضلاع، الذين، عن جنبي قطره، الذين، يقال لهما، المتممان، متساويان.
سطح، ب ن، مساو، لسطح، ف ع.
سطح، ج ك، ب ن، ف ع، ك ر، الأربعة، متساوية.
سطح، ج ك، ب ن، ف ع، ك ر، الأربعة، أربعة أمثال، سطح، ج ك.
سطوح، ج ك، ب ن، ف ع، ك ر، هي جميع، سطح، ج ر، الذي هو، أربعة أمثال، سطح، ج ك.
كان قد تبين، أن السطوح، المتوازية، الاضلاع، التي تكون، على أقطار، سطوح، مربعة، هي أيضا، مربعة.
فسطوح ب ن، ف ع، س ح، مربعة.
ج ب، مساو، ل، ف ك، الذي يقابله.
ج ب، مساو، ل، ف ق، لأن، ف ع، مربع.
ب د، مساو، ل، ب ك، لأن، ب ن، مربع.
ب د، مساو، ل، ج ف، الذي يقابل، ب ك.
ج ب، مساو، ل، ب د.
ج ف، مساو، ل، ف ق.
سطح، أ ف، مساو، ل سطح، م ق.
سطح، ق ط، مساو، لسطح، ع ه.
سطح، م ق، مساو، لسطح، ق ط، لانهما متممان.
سطح، أ ف، مساو، لسطح، ق ط.
سطوح، أ ف، م ق، ق ط، ع ه، الأربعة، مساو، بعضها لبعض.
سطوح، أ ف، م ق، ق ط، ع ه، الأربعة، أربعة أمثال، سطح، أ ف.
سطح، ج ر، المتوازي الاضلاع، هو أربعة أمثال، سطح، ج ك.
أ ك، فهو، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، أ ب، ج ب، لأن، ب ك، مساو، ل، ب د، و مساو، ل، ج ب.
علم، ش ي ث، أربعة أمثال، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب.
فأربعة أمثال، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب، إذا، مساو، لعلم، ش ي ث.
لنجعل، المربع، الكائن من، أ ج، مشتركا، وهو، س ح.
أربعة أمثال، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب، مع المربع، الكائن من، أ ج، مساو، لعلم، ش ي ث، ومربع، س ح.
علم، ش ي ث، ومربع، س ح، هما جميعا، سطح، أ ه، الذي هو، المربع، الكائن، من، أ د.
فأربعة أمثال، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ج ب، مع المربع، الكائن، من، أ ج، مساو، للمربع، الكائن، من، أ د، الذي هو، المربع، الكائن، من، أ ب، و، ج ب، إذا جعلا، كخط، واحد.
فإذا، قسم، خط مستقيم، بقسمين، كيف ما إتفق، فإن، أربعة أمثال السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط كله، وأحد قسميه، مع المربع، الكائن، من القسم الباقي، مساويان، للمربع، الكائن، من الخط كله، والقسم، الذي تقدم ذكره، إذا جعلا، كخط، مستقيم.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
٩ - إذا، قسم، خط مستقيم، قسمين، متساويين، وقسمين، غير متساويين، فإن، المربعين، الكائنين، من قسمي الخط، كله، اللذين، ليسا بمتساويين، هما، ضعف، المربعين، الكائنين، من نصف الخط، ومن الخط، الذي، فيما بين، موضعي، القسمين.
ليكن، خط مستقيم، عليه، أ ب.
ليقسم، قسمين، متساويين، على نقطة، ج.
ليقسم، قسمين، غير متساويين، على نقطة، د.
أقول:
إن المربعين، الكائنين، من خطي، أ د، د ب، ضعف، المربعين، الكائنين، من خط، أ ج، ومن خط، ج د.
برهان ذلك:
ليخرج، من نقطة، ج، من خط، أ ب، المستقيم، خطا مستقيما، على زاوية، قائمة، وهو ه ج.
ليجعل، ه ج، مساو، لكل واحد، من خطي، أ ج، ج ب.
لنوصل، خطا، ه أ، ه ب.
لنخرج، من نقطة، د، خطا، موازيا، لخط، ه ج، وهو، ز د.
لنخرج، من نقطة، ز، خطا، موازيا، لخط، ج د، وهو، خط، ح ز.
لنوصل ز أ.
ه ج، مساو، ل، أ ج.
زاوية، أ ه ج، مساوية، لزاوية، ه أ ج.
زاوية، ه ج أ، قائمة.
زاويتا، أ ه ج،ه أ ج، الباقيتان، متساويتان، لزاوية، قائمة.
هما متساويتان.
كل واحدة، من زاويتي، أ ه ج،ه أ ج، نصف قائمة.
ه ج، أيضا، مساو، ل، ج ب.
زاوية، ج ه ب، مساوية، لزاوية، ج ب ه.
زاوية، ه ج ب، قائمة.
كل واحدة، من زاويتي، ج ه ب، ه ب ج، نصف قائمة.
زاوية، ز د ب، قائمة، يكون، زاوية، د ز ب، نصف قائمة.
خط، ز د، مساو، لخط، د ب .
زاوية، ز ه ج، نصف قائمة.
زاوية، ه ح ز، قائمة.
زاوية، ه ز ح، نصف قائمة.
ه ح، مساو، ل، ح ز.
ه ج، مساو، ل، أ ج.
المربع، الكائن من، ه ج، مساو، للمربع الكائن، من، أ ج.
زاوية، ه ج أ، قائمة.
المربع، الكائن، من، ه أ، مساو، للمربعين، الكائنين، من، خطي، ه ج، أ ج.
المربع، الكائن، من، ه أ، ضعف، المربع، الكائن، من، أ ج.
المربع، الكائن، من، ه ز، مساو، للمربعين، الكائنين، من، خطي، ه ح، ح ز
المربع، الكائن، من، ه ز، ضعف، المربع، الكائن، من، ح ز.
ح ز، مساو، ل، ج د.
المربع، الكائن، من، ه ز، ضعف، المربع، الكائن، من، ج د
المربعان، الكائنان، من خطي، ه أ، ه ز، ضعف، المربعين، الكائنين، من، خطي، أ ج، ج د.
زاوية، أ ه ز، قائمة.
المربع، الكائن، من، أ ز، مساو، للمربعين، الكائنين، من، خطي، أ ه، ه ز.
المربع، الكائن، من، أ ز، ضعف، المربعين، الكائنان، من خطي، أ ج، ج د.
زاوية، ز د أ، قائمة.
المربع، الكائن، من، ز أ، مساو، للمربعين، الكائنين، من، ز د، أ د.
خط، ز د، مساو، لخط، د ب.
المربعان، الكائنان، من، أ د، د ب، ضعف، المربعين، الكائنين، من خطي، أ ج، ج د.
فإذا، قسم، خط مستقيم، قسمين، متساويين، وقسمين، غير متساويين، فإن، المربعين، الكائنين، من قسمي الخط، كله، اللذين، ليسا بمتساويين، هما، ضعف، المربعين، الكائنين، من نصف الخط، ومن الخط، الذي، فيما بين، موضعي، القسمين.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
١٠ - إذا، قسم، خط مستقيم، بنصفين، وزيد عليه، خط، مستقيم، على إستقامته، فإن، المربع، الكائن، من الخط كله، مع الزيادة، والمربع، الكائن، من الزيادة، ضعف المربعين، إذا جمعا، أعني، المربع، الكائن، من نصف الخط، والمربع، الكائن، من الخط، المركب، من، نصف الخط، ومن، الزيادة.
ليكن، الخط، المستقيم، أ ب.
ليقسم، على نقطة، ج، بنصفين.
ليزاد، عليه، خط ما مستقيم، على إستقامته، وهو، ب د.
أقول:
إن، المربعين، الكائنين، من خطي، أ د، ب د، ضعف، المربعين، الكائنين، من خطي، أ ج، ج د.
برهان ذلك:
ليخرج، من، نقطة، ج، من خط، أ ب، خطا، مستقيما، على زوايا قائمة، وهو، ه ج.
ليجعل، مساويا، لكل واحد، من خطي، أ ج، ج ب.
ليوصل، خطا، ه أ، ه ب.
ليخرج، من، نقطة، د، خطا، مستقيما، موازيا، لخط، ه ج، وهو، ن د.
ليخرج، من، نقطة، ه، خطا، مستقيما، موازيا، لخط، ج د، وهو، ه ن.
ه ج، مواز، ل، ن د.
وقع عليهما، خط، ه ن، المستقيم.
زاويتا، ج ه ن، ه ن د، مساويتين، لزاويتين، قائمتين.
زاويتا، ن ه ب، ه ن د، أصغر، من قائمتين.
الخطوط، التي تخرج، من أقل، من زاويتين، قائمتين، الى ما لا نهاية، فهي، تلتقي.
خطا، ه ب، ن د، إذا أخرجا، إلى ما لا نهاية، إلتقيا.
ليخرجا، وليلتقيا، على نقطة، ح.
لنوصل، أ ح.
ه ج، مساو، ل، أ ج.
زاوية، ج ه أ، مساوية، لزاوية، ج أ ه.
زاوية، ه ج أ قائمة.
كل واحدة، من زاويتي، ج ه أ، ج أ ه، نصف قائمة.
ه ج، مساو، ل، ج ب.
زاوية، ج ه ب، مساوية، لزاوية، ج ب ه.
زاوية، ه ج ب، قائمة.
كل واحدة، من زاويتي، ب ه ج، ج ب ه، نصف قائمة.
كل واحدة، من زاويتي، أ ه ج، ج ه ب، نصف قائمة.
زاوية، أ ه ب، قائمة.
زاوية، ه ب ج، نصف قائمة، تكون، زاوية، د ب ح، نصف قائمة.
زاوية، ب د ح، قائمة، لأنها، مساوية، لزاوية، ه ج ب، التي تبادلها.
تبقى، زاوية، ب ح د، نصف قائمة.
زاوية، ب ح د، إذا، مساوية، لزاوية، د ب ح.
ضلع، ب د، مساو، لضلع، د ح.
زاوية، ه ج د، هي قائمة، فالتي، عند، ن، قائمة، لأنها مساوية، للتي، تقابلها، وهي، التي عند، ج.
يبقى، زاوية، ن ه ح، نصف قائمة.
زاوية، ه ح ن، مساوية، لزاوية، ن ه ح.
ضلع، ه ن، مساو، لضلع، ن ح.
ه ج، مساو، ل، أ ج.
المربع، الكائن، من، ه ج، مساو، للمربع، الكائن، من، أ ج.
المربعان، الكائنان، من خطي، ه ج، أ ج، ضعف، المربع، الكائن، من، أ ج.
زاوية، ه ج أ، قائمة.
المربع، الكائن، من، ه أ، مساو، للمربعين، الكائنين، من خطي، ه ج، أ ج.
المربع، الكائن، من، ه أ، ضعف، المربع، الكائن، من، أ ج.
ه ن، مساو، ل، ن ح.
المربع، الكائن، من، ه ن، مساو، للمربع، الكائن، من، ن ح.
المربعان، الكائنان، من خطي، ه ن، ن ح، ضعف، المربع، الكائن، من، ه ن.
المربعان، الكائنان، من خطي، ه ن، ن ح، مساويان، للمربع، الكائن، من، ه ح.
المربع، الكائن، من، ه ح، ضعف، المربع، الكائن، من، ه ن.
ه ن، مساو، ل، ج د، فمربع، ه ح، ضعف، مربع، ج د.
قد تبين، أن المربع، الكائن، من، ه أ ضعف، المربع، الكائن، من، أ ج.
المربعان، الكائنان، من خطي، ه أ، ه ح، ضعف، المربعين، الكائنين، من خطي، أ ج، ج د.
زاوية، أ ه ح، قائمة.
المربعان، الكائنان، من، ه أ، ه ح، مساويان، للمربع، الكائن، من خط، أ ح.
المربع، الكائن، من، أ ح، ضعف، المربعين، الكائنين، من خطي، أ ج، ج د.
زاوية، أ د ح قائمة.
المربع، الكائن، من، أ ح، مساو، للمربعين، الكائنين، من خطي، أ د، د ح.
المربعان، الكائنان، من خطي، أ د، د ح، ضعف، المربعين، الكائنين، من خطي، أ ج، ج د.
خط، د ح، مساو، لخط، ب د.
المربعان، الكائنان، من خطي، أ د، ب د، ضعف، المربعين، الكائنين، من خطي، أ ج، ج د.
فإذا، قسم، خط مستقيم، بنصفين، وزيد عليه، خط، مستقيم، على إستقامته، فإن، المربع، الكائن، من الخط كله، مع الزيادة، والمربع، الكائن، من الزيادة، ضعف المربعين، إذا جمعا، أعني، المربع، الكائن، من نصف الخط، والمربع، الكائن، من الخط، المركب، من، نصف الخط، ومن، الزيادة.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
١١ - أن، نقسم، خطا، مستقيما، مفروضا، حتى يكون، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط كله، وأحد القسمين، مساو، للمربع، الكائن، من القسم، الباقي.
ليكن، الخط، المستقيم، المفروض، خط، أ ب.
ينبغي:
أن، نقسم، أ ب، حتى يكون، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط كله، وأحد قسميه، مساو، للمربع، الكائن، من القسم، الباقي.
ليعمل، من خط، أ ب، مربعا، عليه، ج أ ب د.
ليقسم، ج أ، بنصفين، على نقطة، ه.
لنوصل، خط، ه ب.
لنخرج، على إستقامة، ه أ، خط، أ ن، المستقيم، ولنجعل، خط، ه ن، مساو، ل ه ب.
لنعمل، من أ ن، مربع، أ ن ح ط.
ليخرج، خط، ط ك، المستقيم، على إستقامة، ح ط.
أقول:
إن أ ب، قد قسم، على نقطة، ط، قسمة، يكون، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ط ب، مساو، للمربع، الكائن، من، أ ط.
برهان ذلك:
خط، ج أ، المستقيم، قد قسم، بنصفين، على نقطة، ه، وزيد عليه، خط ما مستقيم، وهو، أ ن.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ج ن، أ ن، مع المربع، الكائن، من، ه أ، مساو، للمربع، الكائن، من، ه ن.
ب ه، مساو، ل، ه ن.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ج ن، أ ن، مع المربع، الكائن، من، ه أ، مساو، للمربع، الكائن، من، ه ب.
زاوية، ه أ ب، قائمة.
المربعان، الكائنان، من خطي، ه أ، أ ب، مساويان، للمربع، الكائن، من، ه ب.
السطح، القائم، الذي يحيط به، خطا، ج ن، أ ن، مع المربع، الكائن، من، ه أ، مساو، للمربعين، الكائنين، من خطي، ه أ، أ ب.
ننقص، منهما، المربع، المشترك، وهو الكائن، من، ه أ.
يبقى، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ج ن، أ ن، مساو، للمربع، الباقي، وهو المربع، الكائن، من، أ ب.
أ ن، مساو، ل، ن ح.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ج ن، أ ن، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ج ن، ن ح.
المربع، الكائن، من، أ ب، هو سطح، ج أ ب د.
سطح، ن ك، مساو، لسطح، أ د.
ننقص منها، أ ك، المشترك.
يبقى، ن ط، مساو، ل، ط د، الباقي.
أ ب، مساو، ل، د ب.
ط د، مساو، للسطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ط ب.
ن ط، هو المربع، الكائن، من، أ ط.
قسم، خط، أ ب، المفروض، على نقطة، ط، فكان، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، أ ب، ط ب، مساو، للمربع، الكائن، من، أ ط.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
١٢ - المربع، الكائن، من الضلع، الذي يوتر، الزاوية، المنفرجة، من المثلثات، المنفرجة الزوايا، أعظم، من المربعين، الكائنين، من الضلعين، المحيطين، بالزاوية المنفرجة، بضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط، الذي يقع عليه، العمود، من الخطين، المحيطين، بالزاوية، المنفرجة، والخط، الذي يفصل، العمود، من خارج، مما يلي، الزاوية المنفرجة.
ليكن، المثلث، المنفرج، الزاوية، مثلث، ب أ ج.
ليكن، زاوية، ب أ ج، منه، منفرجة.
ليجعل، خط، أ د، على إستقامة، خط، ج أ، المستقيم.
ليخرج، من نقطة، ب، الى خط، د أ، المستقيم، عمود، ب د.
أقول:
إن المربع، الكائن، من، ب ج، أعظم، من المربعين، الكائنين، من خطي، ب أ، أ ج، بضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، د أ، د ج.
برهان ذلك:
خط، د ج، المستقيم، قد قسم، كيف ما إتفق، على نقطة، أ.
المربع، الكائن، من، د ج، مساو، للمربعين، الكائنين، من، د أ، أ ج، وضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، د أ، أ ج.
نجعل، المربع، الكائن، من، ب د، مشتركا.
المربعان، الكائنان، من خطي، ب د، د ج، مساويان، للمربعات، الكائنة، من خطوط، ب د، د أ، أ ج، وضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، د أ، أ ج.
زاوية، ب د ج، قائمة.
المربعان، الكائنان، من خطي، ب د، د ج، مساويان، للمربع، الكائن، من، ب ج.
زاوية، ب د أ، قائمة.
المربعان، الكائنان، من خطي، ب د، د أ، مساويان، للمربع، الكائن، من، ب أ.
المربع، الكائن، من، ب ج، مساو، للمربعين، الكائنين، من خطي، ب أ، أ ج، وضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، د أ، أ ج.
فالمربع، الكائن، من الضلع، الذي يوتر، الزاوية، المنفرجة، من المثلثات، المنفرجة الزوايا، أعظم، من المربعين، الكائنين، من الضلعين، المحيطين، بالزاوية المنفرجة، بضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط، الذي يقع عليه، العمود، من الخطين، المحيطين، بالزاوية، المنفرجة، والخط، الذي يفصل، العمود، من خارج، مما يلي، الزاوية المنفرجة.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
١٣ - المربع، الكائن، من، الضلع، الذي يوتر، الزاوية الحادة، من المثلثات، الحادة الزوايا، أصغر، من المربعين، الكائنين، من الضلعين، الباقيين، المحيطين، بالزاوية الحادة، بضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط، الذي يقع عليه العمود، من الخطين، المحيطين، بالزاوية الحادة، والخط، الذي يفصله، العمود، من داخل، مما يلي، الزاوية الحادة.
ليكن، مثلث، عليه، أ ب ج، حاد الزوايا.
ليكن، زاوية، أ ب ج، منه، حادة.
ليخرج، من نقطة، أ، إلى خط، ب ج، عمودا، عليه، أ د .
أقول:
إن المربع، الكائن، من، أ ج، أصغر، من المربعين، الكائنين، من خطي، أ ب، ب ج، بضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا،ب د، ب ج.
برهان ذلك:
خط، ب ج، المستقيم، قد قسم، قسمين، كيف ما إتفق، على نقطة، د.
المربعان، الكائنان، من خطي، ب د، ب ج، مساويين، لضعف السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ب د، ب ج، والمربع، الكائن، من د ج.
نجعل، المربع، الكائن، من، أ د، مشتركا.
المربعات، الكائنة، من، ب د، ب ج، أ د، مساوية، لضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ب د، ب ج، والمربعين، الكائنين، من خطي، أ د، د ج.
زاوية، أ د ب، قائمة.
المربعان، الكائنان، من خطي، أ د، ب د، مساويان، للمربع، الكائن، من، أ ب.
زاوية، أ د ج، قائمة.
المربعان، الكائنان، من خطي، أ د، د ج، مساويان، للمربع، الكائن، من، أ ج.
المربعان، الكائنان، من خطي، أ ب، ب ج، مساويان، لضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ب د، ب ج، والمربع، الكائن، من، أ ج.
المربع، الكائن، من، أ ج، أصغر، من المربعين، الكائنين، من خطي،أ ب، ب ج، بضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا،ب د، ب ج.
فالمربع، الكائن، من، الضلع، الذي يوتر، الزاوية الحادة، من المثلثات، الحادة الزوايا، أصغر، من المربعين، الكائنين، من الضلعين، الباقيين، المحيطين، بالزاوية الحادة، بضعف، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، الخط، الذي يقع عليه العمود، من الخطين، المحيطين، بالزاوية الحادة، والخط، الذي يفصله، العمود، من داخل، مما يلي، الزاوية الحادة.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
١٤ - أن نعمل، مربعا، مساو، لشكل، مستقيم الاضلاع، مفروض.
ليكن، الشكل، المستقيم، الاضلاع، المفروض، شكل، أ
ينبغي:
أن نعمل، مربعا، مساويا، لشكل، أ، المستقيم الاضلاع.
ليقام، سطح، متوازي الاضلاع، قائم الزوايا، مساو، لشكل، أ، المستقيم الاضلاع، وهو، ب ه د ج.
إن كان، ب ه، و، ه د، متساويان، فقد عملنا، ما أردنا.
إن، لم يكونا، متساويين، فإن أحدهما، أعظم، من الآخر، وليكن الأعظم، ب ه.
ليخرج، خط، ه ن، المستقيم، على إستقامة، خط، ب ه، المستقيم.
نجعل، ه ن، مساو، ل، ه د.
ليقسم، ب ن، بنصفين، على نقطة، ح.
نخط، على نقطة، ح، وببعد، خطي، ب ح، ح ن، نصف دائرة، ب ط ن.
ليخرج، خط، ه ط، المستقيم، على إستقامة، خط، د ه.
ليوصل، خط، ط ح.
خط، ب ن، المستقيم، قد قسم، قسمين، متساويين، على نقطة، ح، وقسمين، غير متساويين، على نقطة، ه.
السطح، القائم الزوايا، الذي، يحيط به، خطا، ب ه، ه ن، مع المربع، الكائن، من، ح ه، مساو، للمربع، الكائن، من، ح ن.
خط، ح ن، مساو، لخط، ط ح.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ب ه، ه ن مع المربع، الكائن، من، ح ه، مساو، للمربع، الكائن، من، ط ح.
زاوية، ط ه ح، قائمة.
المربع، الكائن، من، ط ح، مساو، للمربعين، الكائنين، من خطي، ط ه، ح ه.
السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ب ه، ه ن، مع المربع، الكائن، من، ح ه مساو، للمربعين، الكائنين، من خطي، ط ه، ح ه.
نسقط، المربع، المشترك، الكائن، من، ح ه.
يبقى، السطح، القائم الزوايا، الذي يحيط به، خطا، ب ه، ه ن، مساو، للمربع، الكائن، من، ط ه.
السطح، المتوازي الاضلاع، الذي يحيط به، خطا، ب ه، ه د، مساو لسطح ب د.
سطح، ب د، مساو، للمربع، الكائن، من، ط ه.
سطح، ب د، مساو، لشكل، أ، المستقيم، الخطوط.
الشكل، أ، المستقيم، الخطوط، إذا، مساو، للمربع، الكائن، من، ط ه.
فقد، عمل مربعا، مساو، للشكل، المستقيم الخطوط الذي عليه، أ، وهو المربع، الكائن، من، ط ه.
ذلك، ما أردنا، أن نبين.
تمت، المقالة الثانية، من كتاب أوقليدس، في الأصول، ثابت بن قرة، ولله الحمد كثيرا.
Home