أ - كل عدد مسطح، ضلعاه عددان أولان، فليس يعده عدد آخر غيرهما.
فليكن أ عدداً مسطحا، وليكن ضلعاه عددين أولين، وهما ب ج.
أقول، إنه لا يعده عدد آخر، غير عددي ب ج.
برهان ذلك، إن لم يكن الأمر على ما ذكرنا، فسيعد العدد أ، عدد آخر غير عددي ب ج.
إذا جعلنا ذلك العدد د، فسيعد د، العدد أ، بقدر آحاد عدد ما، كعدد ه مثلاً، ويصير الذي يكون من ضرب د، في ه، عدد أ.
عدد ب عدد أول، وهو يعد عدد أ، فهو يعد أحد العددين د او ه.
فليعد عدد ب، عدد د منهما.
إذا ضرب ب في ج، كان من ذلك مسطح أ.
إذا ضرب د في ه، كان من ذلك أيضاً مسطح أ.
فنسبة ب، إلى د، كنسبة ه، إلى ج.
عدد ب يعد عدد د، اذن عدد ه يعد عدد ج .
عدد ه غير مساو لعدد ج، لأنه لو كان عدد ه مساو لعدد ج، لكان عدد د مساوياً لعدد ب، ولم يكن كذلك.
عدد ه يعد عدد ج، وهو غيره، هذا خلف لا يمكن، لأن عدد ج قد كان جعل عدداً أولاً.
اذن ليس يعد مسطح أ، عدد آخر غير عددي ب ج، وذلك ما أردنا أن نبين.
ب -
كل عدد مسطح، يكون أحد ضلعيه عدداً أولا، والضلع الآخر منهما عددا مركبا، فإنه يعده:
- ضلعاه.
- كل عدد يعد ضلعه المركب.
- كل عدد يجتمع، من ضرب ضلعه الأول، في كل عدد، يعد ضلعه المركب.
ولا يعده عدد آخر، غير هذه الأعداد.
فليكن العدد المسطح أ، وليكن ضلعاه، عددي ب ج.
ليكن ضلع ب منهما، عدداً أولا، وضلع ج عدداً مركباً.
وليكن كل عدد آخر، يعد ج ، أعداد د ه و، على تواليها من القلة إلى الكثرة.
ولتكن الأعداد المجتمعة، من ضرب عدد ب، في أعداد د ه و ، على تواليها، أعداد ز ح ط ، على تواليها، من القلة إلى الكثرة.
أقول، إنه يعد عدد أ ، عددا ب ج، وأعداد د ه و، وأعداد ز ح ط، وإنه لا يعده عدد آخر، غير هذه الأعداد.
برهان ذلك:
أن عددي ب ج، هما ضلعا عدد ا المسطح.
كل واحد منهما، يعده، بقدر الآحاد التي في صاحبه.
أما أعداد د ه و، فإنها تعد عدد ج الذي يعد عدد أ، فهي إذا تعد عدد أ.
أما أعداد، ز ح ط أ على تواليها، فإنها مجتمعة، من ضرب عدد ب، في أعداد، د ه و ج على تواليها، كل واحد منها، من ضرب ب في نظيره من تلك.
فنسب أعداد، ز ح ط أ ، بعضها إلى بعض، كنسب نظائرها من أعداد د ه و ج، بعضها إلى بعض.
لكن، كل واحد من أعداد، د ه و ، يعد عدد ج، فكل واحد من أعداد ز ح ط ، يعد عدد أ .
فعدد أ ، يعده عددا، ب ج ، واعداد د ه و، واعداد ز ح ط .
وأقول، إنه لا يعده عدد آخر، غير هذه الأعداد.
فإن أمكن أن يعده غيرها، فليعده عدد ل.
ليكن في عدد ل من الآحاد، مثل عدد المرات، التي يعد عدد ن، عدد أ.
إذا ضرب عدد ل في عدد ن، اجتمع عدد أ .
إذا ضرب أيضاً عدد ب في عدد ج، اجتمع عدد أ.
نسبة ن إلى ب كنسبة ج إلى ل.
عدد ب عدد أول، وهو يعد عدد أ.
يعد ب أحد عددي ن ل، إذ كان متى ضرب أحدهما في الآخر، اجتمع عدد أ.
فإن كان ب يعد عدد ن منهما، فإن عدد ل، يعد عدد ج، لأنا قد قلنا، إن ب ن ل ج متناسبة، وإن عدد ج هو غير مساو له، فهو واحد من أعداد د ه و، لأنه لا يعد عدد ج عدد آخر غيرها. وقد كنا جعلنا عدد ل غير هذه الأعداد، هذا خلف.
وإن كان عدد ب، إنما يعد عدد ل، فإن عدد ن يعد عدد ج.
عدد ن هو غير مساو لعدد ج، لأنه لو ساواه، لكان عدد ل سيساوي عدد ب، لأنا قد بينا أن نسبة ب إلى ن كنسبة ل إلى ج.
فيكون ن واحداً من أعداد د ه و، لأنه لا يعد عدد ج عدد آخر غيرها.
كل واحد من أعداد د ه و، إنما يعد عدد ج، بقدر آحاد واحد من أعداد، د ه و، لأنه لو عده بقدر آحاد عدد آخر، لكان ذلك العدد الآخر يعد عدد ج. وقد كنا قلنا، إنه لا يعده عدد آخر، غير أعداد د ه و.
فعدد ن، إنما يعد عدد ج، بقدر آحاد، واحد من أعداد د ه و. وعدد ب أيضاً، يعد إذاً عدد ل، بقدر هذه الآحاد التي ذكرنا، لأن نسبته إليه كنسبة ن إلى ج.
إذا ضرب عدد ب، في ذلك العدد الذي ذكرنا، من أعداد د ه و، اجتمع عدد ل.
ولكن عدد ب، قد ضرب في كل واحد من أعداد د ه و، فاجتمعت أعداد، ز ح ط.
فعدد ل هو واحد من أعداد ز ح ط. وقد كنا جعلناه غيرها، هذا خلف لا يمكن.
فليس يعد عدد أ، عدد آخر غير عددي ب ج، وأعداد د ه و، وأعداد ز ح ط .
ذلك ما أردنا أن نبين.
ج -
كل عدد مسطح، يكون ضلعاه عددين مركبين، فإن الذي يعده من الأعداد الأُخُر هو:
- ضلعاه.
- كل عدد يعد كل واحد من ضلعيه.
- كل عدد يجتمع من ضرب كل واحد من ضلعيه، في كل عدد يعد الضلع الآخر منهما.
- كل عدد يجتمع من ضرب، كل عدد يعد أحد الضلعين، في كل عدد يعد الضلع الآخر منهما.
ولا يعده عدد آخر غير هذه.
فليكن العدد المسطح أ، وضلعاه ب ج، وليكونا مركبين.
لتكن كل الأعداد الأخر، التي تعد ضلع ب منهما، أعداد د ه و، على تواليها من القلة إلى الكثرة.
وكل التي تعد ضلع ج، أعداد ز ح ط، على تواليها، من القلة إلى الكثرة.
لتكن الأعداد المجتمعة، من ضرب عدد ب، في أعداد ز ح ط، على تواليها أعداد ك ل م على تواليها.
والمجتمعة، من ضرب عدد ج، في أعداد د ه وعلى تواليها، أعداد ن س ع على تواليها.
والأعداد المجتمعة، من ضرب عدد د، في أعداد ز ح ط على تواليها، أعداد ف ص ق على تواليها.
والمجتمعة من ضرب عدد ه، في أعداد ز ح ط، أيضاً على تواليها، أعداد ر ش ت على تواليها.
والمجتمعة من ضرب عدد و، في أعداد ز ح ط، أيضاً على تواليها، أعداد ث خ ذ على تواليها.
أقول، إنه يعد عدد أ، عددا ب ج، وأعداد د ه و، وأعداد ز ح ط ، وأعداد ك ل م، وأعداد ن س ع، وأعداد ف ص ق، وأعداد ر ش ت، وأعداد ث خ ذ، وإنه لا يعده عدد آخر، غير هذه الأعداد.
برهان ذلك:
ان عددي ب ج، هما ضلعا عدد أ المسطح، فكل واحد منهما، يعده بقدر الآحاد التي في صاحبه.
أما كل واحد من أعداد د ه و، فإنها تعد عدد ب، الذي يعد عدد أ، فهي إذاً تعد عدد أ.
كذلك أيضاً أعداد ز ح ط لأنها تعد عدد ج.
أما أعداد ك ل م، فإنه لما كان ضرب عدد ب، في عدد ج، فاجتمع عدد أ، وضرب عدد ب أيضا، في أعداد ز ح ط على تواليها، فاجتمعت أعداد ك ل م على تواليها، فإن نسبة كل واحد من أعداد، ز ح ط، إلى عدد ج، كنسبة نظيره من أعداد ك ل م إلى عدد أ.
ولكن كل واحد من أعداد ز ح ط، يعد عدد ج، فكل واحد من أعداد ك ل م يعد عدد أ.
وبمثل ذلك أيضا، نبين أن كل واحد من أعداد، ن س ع، يعد عدد أ، إذ كانت هذه الأعداد على تواليها، مجتمعة من ضرب عدد ج، في كل واحد من أعداد د ه و، على تواليها.
أما أعداد، ف ص ق، فإنها لما كانت على تواليها، مجتمعة من ضرب عدد د، في أعداد ز ح ط على تواليها، وكانت أعداد ك ل م على تواليها، مجتمعة من ضرب عدد ب، في أعداد ز ح ط أيضا على تواليها، فإن نسب أعداد ف ص ق، إلى أعداد ك ل م ،كل واحد إلى نظيره، تكون كنسبة عدد د إلى عدد ب.
ولكن عدد د يعد، عدد ب، فكل واحد من أعداد ف ص ق، يعد نظيره من أعداد ك ل م. وقد بينا أن ك ل م تعد عدد أ، فأعداد ف ص ق تعد عدد أ.
وبمثل هذا المسلك، نبين ان اعداد ر ش ت، واعداد ث خ ذ، تعد عدد أ، لأنها مجتمعة من ضرب عددي ه و، في أعداد ز ح ط.
فأقول، إنه لا يعد عدد أ، عدد آخر غير هذه الأعداد، التي تقدم ذكرها.
برهان ذلك:
أنه إن أمكن أن يعده عدد آخر غيرها، فليعده عدد ض، وليعده بقدر الآحاد التي في غ.
إذا ضرب عدد ض في عدد غ، اجتمع عدد أ.
عدد ب، أيضاً إذا ضرب في عدد ج، اجتمع عدد أ.
نسبة ض إلى ب، كنسبة ج إلى غ.
عددا ض ب، إما أن يكونا من الأعداد، التي بعضها أول عند بعض، وهي التي تسمى المتباينة، وأما أن يكونا من الأعداد التي بعضها مركب عند بعض، وهي التي تسمى المشتركة.
فإن كانا من الأعداد التي بعضها أول عند بعض، فهما على نسبتهما أقل عددين.
وأقل الأعداد التي على نسبة ما، فهما، يعدان، كل عددين على تلك النسبة، الأقل للأقل، والأكثر للأكثر.
فعدد ض يعد عدد ج، وليس هو مثله، فهو إذاً واحد من أعداد ز ح ط، لأنه لا يعد ج عدد آخر غير ز ح ط.
وقد كنا جعلنا عدد ض، غير واحد من هذه الأعداد، هذا خلف لا يمكن.
وأما إن كانا عددا ض ب، من الأعداد المركبة بعضها عند بعض، فإنه إما أن يكون أحدهما يعد صاحبه، وإما أن يكون لهما، جميعاً، عدد آخر مشترك لهما، يعدهما.
إن كان أحدهما يعد صاحبه، فإما أن يكون ض، هو الذي يعد ب، وإما أن يكون ب، هو الذي يعد ض.
فإن كان ض هو الذي يعد ب، وهو غيره، فهو واحد من أعداد د ه و، وقد كنا قلنا إنه ليس كذلك، هذا خلف.
وإن كان ب هو الذي يعد ض، ف غ يعد ج وهو غيره، إذ كان ض غير ب، فعدد غ إذاً، هو واحد من أعداد ز ح ط، لأنه لا يعد ج عدد آخر غيرها.
فليكن مثلاً عدد ز منها، وعدد ز منها، إنما يعد عدد ج بقدر آحاد، واحد من أعداد ز ح ط، لأنه لو عده بقدر آحاد عدد آخر، لكان ذلك الآخر سيعد عدد ج، وذلك غير ممكن، لأنا كنا قلنا، إنه لا يعده عدد آخر، غير أعداد ز ح ط.
فعدد غ إذاً، إنما يعد عدد ج بقدر آحاد، واحد من أعداد ز ح ط.
فليعده مثلا بقدر آحاد ط، فنسبة الواحد إلى ط، كنسبة غ إلى ج، ونسبة غ إلى ج، كنسبة ب إلى ض.
فالواحد يعد عدد ط، مثل ما يعد عدد ب، عدد ض.
فإذا ضرب عدد ب في عدد ط، اجتمع عدد ض.
ولكن ب إذا ضرب في ط، اجتمع واحد من أعداد ن س ع، فعدد ض هو واحد من أعداد ن س ع.
كنا قلنا إنه ليس كذلك، وهذا أيضاً خلف.
وأما إن كان، لا يعد واحد من عددي ض ب، صاحبه، ولكن لهما جميعاً، عدد آخر مشترك، يعدهما جميعا، فإنا نجعل أكثر عدد يعدهما عدد ي.
ليعد عدد ي، عدد ب منهما، بقدر آحاد عدد عا، كذلك أيضاً، يعد عا، عدد ب، بقدر آحاد ي.
ليعد عدد ي، عدد ض منهما، بقدر آحاد عدد عب، كذلك أيضاً، يعد عب عدد ض، بقدر آحاد ي.
يكون، متى ضرب عدد ي، في عددي عا عب، اجتمع عددا ب ض.
نسبة عا إلى عب، كنسبة ب إلى ض.
عددا عا عب، أقل عددين على نسبتهما، أعنى على نسبة ب إلى ض، لأنه لو أمكن، أن يكون عددان على نسبتهما، أقل منهما، لعداهما جميعاً، بقدر آحاد عدد، أكثر من عدد ي، وكان ذلك العدد يعدهما.
كنا جعلنا عدد ي، أكثر عدد يعدهما، هذا خلف.
عددا، عا عب أقل عددين على نسبتهما.
نسبة أحدهما، وهو عا، إلى الآخر، وهو عب، كنسبة ب إلى ض.
كنا بينا، أن نسبة ب إلى ض، كنسبة غ إلى ج.
نسبة عا إلى عب، كنسبة غ إلى ج.
لكن، عا عب، أقل الأعداد على نسبتهما، فهما يعدان عددي غ ج، أكثر من مرة، أو يساويانهما، كل واحد نظيره.
إن كان عدد عا، يساوي عدد غ، وعدد عب يساوي عدد ج، وعدد ي إذا ضرب في عدد عب، اجتمع عدد ض، لأنه قد كان يعده، بقدر آحاد عدد عب، فإن عدد ي، إذا ضرب في عدد ج، اجتمع عدد ض.
لكن عدد ي، مثل واحد من أعداد د ه و، لأنه يعد عدد ب، الذي لا يعده عدد آخر غير هذه الاعداد، وهو غير مساو له.
فعدد ض إذاً، يجتمع من ضرب واحد من أعداد د ه و، في عدد ج.
كل الأعداد المجتمعة، من ضرب أعداد د ه و، في عدد ج، هي أعداد ك ل م، فعدد ض إذا، هو واحد من أعداد ك ل م.
قد كنا قلنا إنه ليس كذلك، هذا خلف.
وأما إن كان عددا عا عب، لا يساويان عددي غ ج، وإنما يعدانهما أكثر من مرة واحدة، فإن عدد عب منهما، هو الذي يعد عدد ج، فهو إذا واحد من أعداد ز ح ط، لأنه لا يعد عدد ج عدد آخر غير هذه الأعداد.
وعدد ي، قد بينا أنه مثل واحد من أعداد، د ه و، فالذي يكون، من ضرب عدد ي، في عدد عب، هو الذي يكون من ضرب واحد من أعداد د ه و، في واحد من أعداد ز ح ط.
الذي يكون من ضرب عدد ي، في عدد عب، هو عدد ض، لأن ي، يعد ض، بقدر أحاد عدد عب.
فعدد ض إذا، هو مثل المجتمع من ضرب واحد من أعداد د ه و، في واحد من أعداد ز ح ط .
كل الأعداد المجتمعة، من ضرب واحد من أعداد د ه و، في واحد من أعداد ز ح ط، هي أعداد ف ص ق، ر ش ت ، ث خ ذ.
فعدد ض إذاً، هو واحد من هذه الأعداد.
قد كنا قلنا إنه ليس كذلك، وهذا خلف، لا يمكن.
فليس يعد أ، عدد آخر غير التي تقدم ذكرها، وذلك ما أردنا أن نبين.
Home